Nội dung bài toán được phát biểu đơn giản như sau : cho trước một tập hợp gồm các số nguyên dương, hỏi từ tập hợp này có thể chọn ra các phần tử có tổng nghịch đảo bằng 1 được hay không?

Bài toán 3500 tuổi này có nguồn gốc từ thời Ai Cập cổ đại và trong một bài báo của mình, nhà toán học Thomas Bloom đã giải quyết trọn vẹn bài toán này. Một phiên bản của bài toán này cũng được hai nhà toán học Erdős và Graham đặt ra và trao thưởng 500 USD cho ai giải được nó.

Bài toán đó được đưa phát biểu như sau “Nếu tập A là tập con của tập N và A có mật độ dương, thì tồn tại một tập con hữu hạn S của A mà tổng nghịch đảo các phần tử của nó bằng 1”. (Một ví dụ về tập con của N có mật độ dương là A = {3,5,7,9,11,...}, có thể hiểu nôm na là khi ta lấy một lượng đủ lớn các số tự nhiên liên tiếp thì xác suất để tồn tại một số thuộc vào A là khác 0).

Andrew Granville, một nhà toán học đến từ Đại học Montreal, nói trong Tạp chí Quanta : “Tôi chỉ nghĩ đây là một câu hỏi bất khả thi mà không ai có thể giải được. Tôi không thấy bất kỳ công cụ rõ ràng nào có thể giải quyết nó". Tuy nhiên, Bloom tình cờ đã tìm ra đáp án nhờ vào một bài báo có từ 20 năm trước trong Biên niên sử Toán học năm 2003 mà tác giả của nó là nhà toán học Ernie Croot.

Những gì Croot đã giải được gọi là “phiên bản tô màu” của bài toán Erdős – Graham. Nó được gọi như vậy bởi vì nó liên quan đến các tập con “tô màu” - về cơ bản, có thể coi nó giống như việc phân chia tập A bằng cách bỏ các phần tử của A vào một số hữu hạn các hộp có màu khác nhau.

Nhà toán học Giorgis Petridis từ Đại học Georgia nói với Quanta: “Ý tưởng mả Croot đưa ra rất tuyệt vời. Tuy nhiên, nó đòi hỏi sự sáng tạo, khéo léo với các kỹ thuật tính toán cao” Petridis chia sẻ.

Ngoài ra, có một sự khác biệt rằng trong bài toán tô màu là, toàn bộ tập hợp A đã được chia thành các hộp. Bạn không biết chính xác nó được phân chia như thế nào, nhưng điều đó không thực sự quan trọng - tất cả những gì bạn cần chỉ ra là có một hộp chứa các con số đủ đẹp để tính tổng. Croot đã xây dựng bằng chứng để chỉ ra rằng sẽ có ít nhất một hộp có đủ những con số đẹp thỏa mãn định lý.

Nhưng phép chứng minh của Croot không giải được phiên bản trù mật của bài toán đã nói ở trên. Bloom đã vận dụng tốt những ý tưởng của Croot để giải quyết trọn vẹn bài toán. "Tôi nghĩ, phương pháp của Croot [thực sự] mạnh hơn so với tưởng tượng. Vì vậy, tôi đã dành ra vài tuần và tìm ra đáp án cho bài toán này" - Ông nói.

Bloom cho rằng Croot đã chứng minh được một trường hợp đặc biệt của bài toán này. Tất cả những gì Bloom phải làm là chỉ ra rằng kết quả sẽ giống nhau khi chứng minh các trường hợp còn lại và phiên bản trù mật của bài toán sẽ được giải quyết hoàn toàn.

Các phương pháp mà Bloom sử dụng thực sự là “một phiên bản nâng cấp” của những ý tưởng do Croot đề ra. Ý tưởng của Bloom là thay vì tìm ra các số có tổng nghịch đảo bằng 1 thì lại tìm ra các nhóm số có tổng nhỏ hơn, sau đó cộng lại bằng 1. “Ví dụ nếu ta tìm được ba nhóm mà tổng nghịch đảo các số của mỗi nhóm bằng ⅓ theo cách khác nhau, thì chỉ cần cộng chúng với nhau thì ta có kết quả là 1” - Bloom nói với tờ Quanta.

Với chứng minh của mình, Bloom đã giải quyết được một câu hỏi có nguồn gốc từ thời Ai Cập cổ đại. Tuy nhiên, không dừng ở đây, Bloom đặt ra một câu hỏi mới và tiếp tục đi tìm chứng minh: đối với tập A ⊂ N nào thì không thể tìm được tập con của A có tổng nghịch đảo các phần tử bằng 1?

Doãn Hùng (Theo IFL Science)

Tù nhân giải được bài toán cổ từng khiến nhà toán học 'đau đầu'

Một tù nhân tại Mỹ đã tự học toán cao cấp cơ bản. Nhờ đó, anh ta đã giải được một bài toán phức tạp. Không những thế, còn truyền niềm đam mê toán học của mình cho các bạn tù.

 - Tay vợt cầu lông Phạm Cao Cường đang được kỳ vọng sẽ thay thế người đàn anh Nguyễn Tiến Minh đang ở dốc bên kia sự nghiệp.

SEA Games 29 chỉ còn hơn 1 tháng nữa sẽ diễn ra tại Malaysia. Hiện tại, các đội tuyển thể thao, các VĐV trong đó có Phạm Cao Cường đang tích cực tập luyện để có sự chuẩn bị tốt nhất cho ngày hội thể thao lớn nhất Đông Nam Á.

Tin vui đến với tay vợt được mệnh danh là "Hoàng tử cầu lông" khi anh nhận được sự hậu thuẫn của mạnh thường quân trước chuyến thi đấu ở Mỹ, sau đó là SEA Games 29.

Phạm Cao Cường (bìa trái), quyết tâm giành HCĐ SEA Games 29. Ảnh: HN

Ngày 04/7/2017, Công ty Cổ phần Dịch vụ Dầu khí Thái Bình tổ chức Lễ ký kết hợp đồng đại sứ thương hiệu với vận động viên cầu lông Phạm Cao Cường.

Theo Hợp đồng đại sứ thương hiệu giữa hai bên, Phạm Cao Cường sẽ là đại sứ cho thương hiệu Nước khoáng Thiên nhiên Tiền Hải của Công ty CP Dịch vụ Dầu khí Thái Bình trong 5 năm.

Tiết lộ về mục tiêu lớn nhất trong năm 2017, Phạm Cao Cường cho biết, anh quyết tâm giành chiếc HCĐ đơn nam SEA Games 29. Ngoài ra, VĐV sinh năm 1996 cũng đặt ra mục tiêu lọt vào top 100 thế giới để giành quyền tham dự ASIAD 2018, tại Indonesia.

Phạm Cao Cường hiện đang là tay vợt số 2 của Việt Nam và xếp hạng 143 thế giới. Năm 2013, Cao Cường chính thức tham dự các sân chơi quốc tế, cả các cuộc đấu trẻ khu vực, châu lục lẫn các giải chuyên nghiệp phù hợp. Và gần như ngay lập tức, hot boy của cầu lông Việt Nam đã giành những thành công vang dội, nhất là bước sang năm 2014.

Đáng chú ý, Cao Cường đã có cuộc đột phá ngoạn mục tại giải trẻ châu lục khi lọt vào tới tận tứ kết, và chỉ chịu thua đối thủ sau đó lên ngôi Zhao Ju Peng (Trung Quốc), một phần do dính chấn thương vai. Chiến tích này đã mang về cho tuyển thủ Việt Nam tới gần 3.000 điểm để vọt lên đứng hạng 5 trẻ thế giới vào tháng 3 - điều mà Tiến Minh trước đây cũng chưa từng có được.

Ở giải Vô địch châu Á 2014, trong khi đàn anh Tiến Minh bị loại từ vòng 1, chính Cao Cường đã tạo địa chấn với việc hạ gục tay vợt Chou Tien Chen (Đài Loan) đang xếp hạng 22, tức là hơn mình tới 200 bậc với tỷ số 2-0 không tưởng (21-18 và 21-14) để giành quyền vào vòng hai, rồi tiếp tục có một màn trình diễn xuất sắc trước huyền thoại Lin Dan, dù thua.

Chẳng phải ngẫu nhiên, một tay vợt vô cùng kiệm lời như Nguyễn Tiến Minh cũng phải nức nở khen đàn em, và gián tiếp thừa nhận đó là “truyền nhân” xứng đáng của mình.

H.N

Học trường làng để ‘đi bộ cho nhanh’

Nguyễn Thị Hoa cho biết, từ nhỏ em chỉ học trường làng để “đi bộ đến trường cho nhanh”. Lên cấp III, em chọn học Trường THPT Thanh Oai A cũng với lý do “gần nhà”, mặc dù đây là trường có điểm đầu vào thấp nhất huyện.

Tự nhận mình mạnh về các môn tự nhiên, thích học Toán, nhưng Hoa lại không thể đỗ vào đội tuyển thi học sinh giỏi Toán của trường. Năm ấy, khi đang học lớp 11, đội tuyển Vật lý thiếu người, Hoa được thầy dạy Vật lý đề nghị: “Hoa thi Vật lý đi”. Vừa hay lúc này không trong đội tuyển nào, nhận thấy đây là cơ hội để thử sức với môn Vật lý, Hoa gật đầu.

Năm đó, Hoa mang về cho trường giải khuyến khích. Đầu năm lớp 12, thầy giáo lại chọn em vào đội tuyển thi học sinh giỏi Vật lý. Lần này, em đi thi học sinh giỏi thành phố nhưng không được giải.

Mặc dù không đoạt giải nhưng tình yêu với môn Vật lý đã nhen nhóm trong cô bé Nguyễn Thị Hoa. Cuối năm lớp 12, Hoa chọn đăng ký xét tuyển vào ngành Vật lý học (chương trình chuẩn quốc tế) của Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia Hà Nội

Hoa là cựu sinh viên Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia Hà Nội

Lựa chọn là như vậy, nhưng bước vào năm nhất đại học, Hoa đã bị “choáng ngợp”. Đặc biệt, môn tiếng Anh khiến Hoa cảm thấy khó theo kịp các bạn.

“Học kỳ đầu tiên, điểm tổng kết của em chỉ được 2.32. Sang học kỳ 2, may sao có một số môn liên quan đến Toán, em lấy lại được sự tự tin và điểm tổng kết học kỳ 2 đã lên 3.6”, Hoa nhớ lại.

Vào chuyên ngành, Hoa chọn học Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán với suy nghĩ “vừa được học Vật lý, vừa được học Toán”. Hết 4 năm đại học, Hoa thi tiếp cao học ngành Vật lý để được đi sâu hơn vào chuyên ngành mình yêu thích.

Đầu năm 2019, thông qua bạn bè, biết đến hướng nghiên cứu của thầy Nguyễn Thế Toàn (Trưởng khoa Vật lý, Giám đốc Phòng thí nghiệm Trọng điểm Khoa học Tính toán Đa tỷ lệ cho các hệ Phức hợp), Hoa đã mạnh dạn gặp thầy để xin được làm trong phòng thí nghiệm.

Trong thời gian học cao học, Hoa duy trì việc đi làm gia sư để có thêm thu nhập trang trải cuộc sống. Từng nhận được lời đề nghị về dạy học tại một trường THPT tư thục, nhưng em đã từ chối vì muốn toàn tâm toàn ý cho việc học cao học và nghiên cứu.

Học bổng du học bất ngờ

“Nếu không đi du học, có thể sau khi học xong thạc sĩ Vật lý, em sẽ đi dạy ở một trường phổ thông nào đó”, Hoa cho biết.

Học bổng tiến sĩ tại Đức đến với Hoa bất ngờ khi một ngày đầu tháng 10/2021, thầy Nguyễn Thế Toàn chuyển tiếp cho Hoa thông tin học bổng từ các đối tác quốc tế. Đọc thông tin, cảm thấy học bổng khá gần với hướng nghiên cứu mình đang làm, Hoa đã mạnh dạn “apply”.

Đến giữa tháng 11/2021, em nhận tin được chấp thuận học bổng và bắt đầu chuẩn bị các giấy tờ đi du học. Hoa chính thức đặt chân tới Đức vào những ngày giữa tháng 2/2022, học tại Đại học RWTH Aachen. Ngôi trường này cũng đồng thời sắp xếp cho em sang làm nghiên cứu tại viện IAS-5/INM-9 ở Forschungszentrum, Juelich để hoàn thiện luận án tiến sĩ.

Đến giờ, cô gái “con nhà nông dân chính hiệu” vẫn thấy mọi thứ diễn ra quá nhanh, giống như một giấc mơ. Em chưa từng “apply” học bổng du học, em không có bằng cấp tiếng Anh như IELTS hay TOEFL; em chỉ có vốn tiếng Anh có từ ngày học đại học,...”.

Ngày phỏng vấn, trái ngược với lo lắng của Hoa, sự “cố gắng thấu hiểu” của Hội đồng phỏng vấn khiến Hoa cảm thấy tự tin hơn.

“Họ hỏi nhiều lắm: Vật lý lý thuyết, thống kê, cơ học lượng tử,... Câu hỏi với nhiều vấn đề rất rộng nhưng thực ra toàn những kiến thức trong trường đại học. Nhiều câu em không hiểu nghĩa, khi hỏi lại, họ sẵn sàng nhắc lại, thậm chí đánh máy câu hỏi rồi gửi qua chat”, Hoa cho biết.

Thời gian “apply” học bổng cũng là lúc Hoa thường xuyên ở nhà. Biết chuyện con gái ước vọng cao xa, bố mẹ Hoa lo lắng, bởi: “Nhà mình làm gì có tiền mà đi du học hả con?”. Chỉ đến khi Hoa báo tin đỗ học bổng và khẳng định được đi du học không mất tiền, bố mẹ Hoa mới yên tâm.

Nói về việc theo đuổi ngành khoa học cơ bản và cơ hội sau khi tốt nghiệp, Hoa chia sẻ: “Em nghĩ cứ học tốt, cứ theo đuổi đam mê, không thiếu cơ hội phát triển. Cơ hội đến rất bất ngờ vào những thời điểm bản thân ta không bao giờ nghĩ tới”.

Hoa cũng cảm thấy biết ơn Trường ĐH Khoa học Tự nhiên đã giúp em có nền tảng vững chắc về  khoa học tự nhiên, và Trường THPT Thanh Oai A - nơi “đầu vào thấp nhưng đầu ra không hề thấp” đã giúp em được gặp các thầy cô nhiệt tình, tâm huyết. Những người thầy này đã tạo bàn đạp giúp em trở nên vững vàng và trưởng thành hơn trên những chặng đường tương lai.

Hoài Hương

Nam sinh Hà Nội từ cử nhân vào thẳng bậc tiến sĩ ở MIT

Từng giành huy chương Olympic quốc tế, tốt nghiệp cử nhân tại viện nghiên cứu hàng đầu Hàn Quốc,… là tiền đề quan trọng giúp Khôi apply thành công lên thẳng bậc học tiến sĩ tại MIT (Mỹ).

Bà Tuyết bày tỏ: “Khi mới đưa vào bệnh viện cấp cứu, bác sĩ yêu cầu đóng tạm ứng 2 triệu đồng, nhưng tôi vét sạch túi cũng chỉ được 500 ngàn, phải vay thêm của hàng xóm 1 triệu nữa để đóng vào viện phí.

Trong quá trình nằm viện, bác sĩ lại đưa phiếu yêu cầu tạm ứng 5 triệu đồng nhưng chúng tôi không có, nhờ bà con lối xóm gom góp được 3 triệu, tôi mang vào đóng hết. Từ đó đến nay, chưa có cách nào lo thêm”.

Đứng trước tình trạng nguy hiểm của bà Cúc, bệnh viện đồng ý điều trị cho bà trước, chi phí gia đình từ từ lo liệu. Ngay sau đó, bà được nong mạch vành và đặt stent. Hiện bà Cúc đã tỉnh táo, nằm viện để theo dõi. Vậy nhưng nỗi lo lại tăng thêm gấp bội.

Gần 3 năm trước, con trai duy nhất của vợ chồng bà đổ vỡ hôn nhân. Chán nản, chàng trai sinh năm 2000 đã theo bạn đi làm ăn xa, để lại cháu nội cho ông bà chăm sóc. Suốt thời gian qua, họ cố liên lạc với con nhưng không được, chỉ nghe nói sang Campuchia làm ăn. Bà lo cho con, lại thương đứa cháu còn nhỏ đã thiếu vắng hơi ấm của cha mẹ.

Chồng bà Cúc từng là nhân viên của công ty cấp thoát nước. Khoảng 10 năm trước, ông gặp tai nạn, hai mắt mờ, không còn nhìn rõ. Trong những năm qua, có thời điểm ông đi bán vé số để phụ vợ trang trải, nhưng mắt mờ, tay chân chậm chạp, nhiều lần gặp kẻ xấu khiến ông lỗ cả gốc. Mấy năm nay ông chỉ ở nhà, ngay cả ăn uống cũng phải dựa vào bà.

“Lúc trước tôi đi cạo gió, giác hơi cho người ta. Ngày nào không có việc thì bán vé số dạo hoặc giúp việc nhà theo giờ. Giờ bệnh hoạn thế này, chồng và cháu biết phải làm sao”, bà Cúc nghẹn lời.

Mấy ngày bà nằm viện, mọi việc phải nhờ em gái. Từ xoay xở trong bệnh viện, xong lại ghé nhà trọ lo đồ ăn cho anh rể và cháu nhỏ, rồi còn việc của gia đình riêng. Sau này không xuể việc, bà Tuyết phải gửi đứa trẻ về nhà ngoại chăm sóc.

Bản thân bà Tuyết cũng chật vật không kém so với chị mình. Cuộc sống thuê trọ, chồng lại đau bệnh không làm được việc gì. Ở tuổi gần 60, bà vẫn đi làm tạp vụ để lo tiền trọ và sinh hoạt. Bởi vậy, họ chẳng có đồng nào dành dụm.

Đại diện phòng Công tác xã hội Bệnh viện TP. Thủ Đức chia sẻ, hoàn cảnh của bà Cúc hiện tại quá khó khăn. Số tiền 50 triệu đồng đối với họ quá lớn, không cách nào lo nổi. Hiện tại, phòng cũng đã đứng ra kêu gọi các nhà hảo tâm nhưng chưa được. Mong rằng thông qua VietNamNet, bạn đọc sẽ chung tay giúp đỡ gia đình bà.